Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（I）作出函數f（x）的圖象；
（Ⅱ）若不等式 ≤f（x）有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令2x﹣1=0，得x= ，
令x﹣1=0，得x=1；
當x＜ 時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；
當 ≤x≤1時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；
當x＞1時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；
∴f（x）= ，
作出函數f（x）的圖象，如圖所示；

（Ⅱ）由函數f（x）的圖象知，f（x）的最大值是1，
所以不等式 ≤f（x）有解，等價于 ≤1有解，
不等式 ≤1可化為 ﹣1≤0
（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤ 或a＞1，
所以實數a的取值范圍是（﹣∞， ]∪（1，+∞）
【解析】（Ⅰ）去掉絕對值，化簡函數f（x），作出函數f（x）的圖象即可；（Ⅱ）由函數f（x）的圖象知函數的最大值是1，問題等價于 ≤1有解，
求出解集即可．