Question

【題目】已知雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的實軸端點分別為A1 ， A2 ， 記雙曲線的其中的一個焦點為F，一個虛軸端點為B，若在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A.（ ， ）
B.（ ， ）
C.（1， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意可設F（0，c），B（b，0），則直線BF的方程為cx+by﹣bc=0， ∵在線段BF上（不含端點）有且只有不同的兩點Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，
∴線段BF與以A1A2為直徑的圓相交，即 ＜a，化為b2c2＜a4 ，
又b2=c2﹣a2 ， e= ，
∴e4﹣3e2+1＜0，解得 ＜e2＜ ，又e＞1
∴1＜e＜ ，
∵在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，
可得a＜b，
∴a2＜c2﹣a2 ， 解得e＞ ，
綜上得， ＜e＜ ．
故選：A．