Question

【題目】已知函數g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數 的圖象上．
（1）求實數a的值；
（2）解不等式f（x）＜ ；
（3）函數h（x）=|g（x+2）﹣2|的圖象與直線y=2b有兩個不同的交點時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數g（x）的圖象恒過定點A，當x﹣2=0時，即x=2，y=2，

∴A點的坐標為（2，2），

又A點在f（x）上，

∴f（2）= =a，解得a=1

（2）解：）f（x）＜ ，

∴ ＜ =0，

∴0＜x+1＜1，

∴﹣1＜x＜0，

∴不等式的解集為（﹣1，0）

（3）解：由（1）知g（x）=g（x）=2x﹣2+1，

∴h（x）=|g（x+2）﹣2|=|2x﹣1|=2b，

分別畫出y=h（x）與y=2b的圖象，如圖所示：

由圖象可知：0＜2b＜1，故b的取值范圍為

【解析】（1）運用a0=1，令x﹣2=0，則x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；（2）運用對數函數的單調性，當a＞1時，f（x）在x＞0上遞增，解不等式即可得到；（3）求出h（x），分別畫出y=h（x）與y=2b的圖象，由圖象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范圍．
【考點精析】本題主要考查了指數函數的單調性與特殊點的相關知識點，需要掌握0<a<1時:在定義域上是單調減函數;a>1時:在定義域上是單調增函數才能正確解答此題．