Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，同時與它的長度的平方成反比．

（1）在a＞d＞0的條件下，將此枕木翻轉90°（即寬度變為了厚度），枕木的安全負荷會發生變化嗎？變大還是變小？

（2）現有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

【答案】（1）變大；（2）當寬，高時，安全負荷最大．

【解析】

試題分析：（1）設安全負荷為，求出翻轉90°后的表達式，然后求解比值的最大值．

（2）設截取的寬為a（），高為d，，得到安全負荷為，令利用函數的導數求解最大值即可．

試題解析：設安全負荷為,

翻轉90°后,

可得： ,

當a＞d＞0時，1 ．此時枕木的安全負荷變大．

（2）設截取的寬為a（0＜a＜2），高為d，…6分

其長度l及k為定值，安全負荷為

令

此時

由,可得

∴

所以當寬時，取得取大值，此時高，

所以，當寬，高時，安全負荷最大