Question

【題目】已知函數 ．

（1）當a=1時，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求實數m的取值范圍；

（2）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I） （II）

【解析】試題分析：（I）將a的值代入f（x），求出f（x）的導函數；，將x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m轉化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．

（II）將圖象的位置關系轉化為不等式恒成立；通過構造函數，對新函數求導，對導函數的根與區間的關系進行討論，求出新函數的最值，求出a的范圍．

試題解析：解：（I）當a=1時，，

可知當x∈[1，e]時f（x）為增函數，

最小值為，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故實數m的取值范圍是

（2）已知函數．

若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，

等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立．

設．

即g（x）的最大值小于0.

（1）當時，，

∴為減函數．

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1時，．

為增函數，

g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．

（3）當時，g（x）在上為減函數，在上為增函數，

同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實數a的取值圍是．