Question

【題目】已知點(diǎn)P（x，y）是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F（1，0），定直線(xiàn)l：x=﹣1與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，且滿(mǎn)足 .

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡t的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交曲線(xiàn)t于點(diǎn)A,B，和點(diǎn)C，D.設(shè)線(xiàn)段AB和線(xiàn)段CD的中點(diǎn)分別為M和N，記線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為K，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)OK的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y2=4x；（2）[，0）∪（0，].

【解析】

（1）利用直接法求軌跡方程，直接通過(guò)所給條件 列式整理可得y2=4x；

（2）設(shè)直線(xiàn)AB：x=my+1，聯(lián)立y2=4x，整理得y2﹣4my﹣4=0，利用韋達(dá)定理可得M點(diǎn)坐標(biāo)（2m2+1，2m），同理可得N點(diǎn)坐標(biāo)（，），可得k，整理即可得解.

（1）根據(jù)條件可知（x+1，y），（2，0），

（x﹣1，y），（﹣2，y），

因?yàn)?/span> ，

所以2x+2=﹣2x+2+y2，即y2=4x，

所以P的軌跡方程為y2=4x；

（2）設(shè)直線(xiàn)AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立，整理得y2﹣4my﹣4=0，且y1+y2=4m，y1y2=﹣4，△=16（m2+1），

所以M（2m2+1，2m），同理，N（，），所以K（m21，m），

所以當(dāng)k，

令t=m0，則k，

當(dāng)t<0時(shí)，t（﹣t）﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)t0時(shí)，t2，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)，

則k∈[，0）∪（0，].