【題目】已知函數
，其中
.
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
與
滿足的關系；
（2）當
時，討論
的單調性；
（3）當
時，對任意的
，總有
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）①當
時，
在
上單調遞增；②當
時，在
和
上單調遞增；在
上單調遞減；當
時，函數在
和
上單調遞增；在
上單調遞減；（3）
.
【解析】
（1）求出
，由函數在點
處的切線與
平行，得
，從而可得結果；（2）求出，分三種情況討論
的范圍，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數增區間，
求得的范圍，可得函數的減區間；（3）當
時，
，
對任意的
恒成立等價于
在恒成立. 設
，兩次求導，可得
，從而可得結果.
（1）由題意，得
.
由函數在點處的切線與平行，得.
即.
（2）當
時，
，
由
知
.
①當時，
，
在恒成立，
函數在上單調遞增.
②當時，由，解得
或
；
由，解得
.
函數在和上單調遞增；在上單調遞減.
③當時，，解得
或
；
由，解得
.
函數在和上單調遞增；在上單調遞減.
（3）當時，，
由，得
對任意的恒成立.
，
，
在恒成立.
設，則
，
令
，則
，
由
，解得
.
由
，解得
；
由
，解得
.
導函數
在區間
單增；在區間
單減，
，
在上單調遞減，
，
.
故所求實數
的取值范圍.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，頂點
在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為
，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（ ）（參考公式：
）
A. 2B. 
C. 4D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點P（x，y）是平面內的動點，定點F（1，0），定直線l：x=﹣1與x軸交于點E，過點P作PQ⊥l于點Q，且滿足
.
（1）求動點P的軌跡t的方程；
（2）過點F作兩條互相垂直的直線，分別交曲線t于點A,B，和點C，D.設線段AB和線段CD的中點分別為M和N，記線段MN的中點為K，點O為坐標原點，求直線OK的斜率k的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，橢圓
以
的長軸為短軸，且兩個橢圓的離心率相同，設O為坐標原點，點A、B分別在橢圓、上，若
，則直線AB的斜率k為（ ）.
A.1B.-1C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
為等差數列
的前n項和，
是正項等比數列，且
，
.在①
，②
，③
這三個條件中任選一個，回答下列為題：
（1）求數列和的通項公式；
（2）如果
（m，
），寫出m，n的關系式
，并求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．
（Ⅰ）當m=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若x∈R，t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求實數m的取值范圍．
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