Question

已知函數f(x)＝x³＋ax²＋bx(a，b∈R)．
(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若f(1)＝，且函數f(x)在上不存在極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當b≥1時，f(x)的增區間為(－∞，＋∞)；當b<1時，f(x)的增區間為(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)；減區間為(－1－，－1＋)．（2）(－∞，0]

(1)當a＝1時，f′(x)＝x²＋2x＋b.
①若Δ＝4－4b≤0，即b≥1時，f′(x)≥0，
所以f(x)為(－∞，＋∞)上為增函數，所以f(x)的增區間為(－∞，＋∞)；
②若Δ＝4－4b>0，即b<1時，f′(x)＝(x＋1＋)(x＋1－)，
所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上為增函數，f(x)在(－1－，－1＋)上為減函數．
所以f(x)的增區間為(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)，減區間為(－1－，－1＋)．
綜上，當b≥1時，f(x)的增區間為(－∞，＋∞)；當b<1時，f(x)的增區間為(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)；減區間為(－1－，－1＋)．
(2)由f(1)＝，得b＝－a，
即f(x)＝x³＋ax²－ax，f′(x)＝x²＋2ax－a.
令f′(x)＝0，即x²＋2ax－a＝0，變形得(1－2x)a＝x²，
因為x∈，所以a＝.
令1－2x＝t，則t∈(0，1)，＝.
因為h(t)＝t＋－2在t∈(0，1)上單調遞減，故h(t)∈(0，＋∞)．
由y＝f(x)在上不存在極值點，得a＝在上無解，所以，a∈(－∞，0]．
綜上，a的取值范圍為(－∞，0]