Question

已知函數f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調區間；
(2)若函數y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數g(x)＝x³＋x² (f′(x)是f(x)的導函數)在區間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N^*)

Answer 1

（1）單調增區間為(1，＋∞)，減區間為(0,1)．（2）不是，（3）見解析

(1)解　當a＝－1時，f′(x)＝ (x>0)
令f′(x)>0，得x∈(1，＋∞)；
令f′(x)<0，得x∈(0,1)．
∴函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)，減區間為(0,1)．
(2)解　∵f′(x)＝ (x>0)，∴f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，g(x)＝x³＋x²－2x，∴g′(x)＝3x²＋(m＋4)x－2，∵g(x)在區間(t,3)上總不是單調函數，且g′(0)＝－2，∴
由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′t<0恒成立，
所以，∴－<m<－9.
故m的取值范圍是.
(3)證明　由(1)知當x∈(1，＋∞)時f(x)>f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴0<ln x<x－1對一切x∈(1，＋∞)成立．
∵n≥2，n∈N^*，則有0<ln n<n－1，∴0<.
∴ (n≥2，n∈N^*)．