Question

已知函數
（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）記函數的圖象為曲線，設點是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”，試問：函數是否存在“中值相依切線”，請說明理由.

Answer 1

（1）當時，的單調遞增區間為；當，的單調遞增區間為和；（2）函數不存在“中值相依切線”.

試題分析：（1）當時，分和兩種情況分別進行分析，當時, , 顯然函數在上單調遞增；當時, ，令,解得或;所以當時,函數在上單調遞增；當時,函數在和上單調遞增；（2）先設是曲線上的不同兩點，求出的表達式化簡得到：，再經過求導分析得出函數不存在“中值相依切線”.
試題解析：（1）函數的定義域是. 由已知得， 
當時, , 顯然函數在上單調遞增；
當時, ，令,解得或; 
函數在和上單調遞增，
綜上所述:①當時,函數在上單調遞增；
②當時,函數在和上單調遞增；
（2）假設函數存在“中值相依切線”
設是曲線上的不同兩點，且，
則，.
  
曲線在點處的切線斜率  
依題意得： 
化簡可得： ， 即= 
設 ()，上式化為：,
.  令,
.
因為,顯然，所以在上遞增,
顯然有恒成立.  所以在內不存在,使得成立.
綜上所述，假設不成立.所以，函數不存在“中值相依切線”.