Question

（2012•瀘州二模）函數y=f（x）定義在R上，且滿足：①f（x）是偶函數；②f（x-1）是奇函數，且當0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=f（1）在區間（-2，10）內的所有實根之和為（　　）

A．22

B．24

C．26

D．28

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數說明函數圖象關于y軸對稱，再由f（x-1）是奇函數說明函數圖象關于點（-1，0）對稱，因此可以證明出函數的周期為4．只要找出方程f（x）+4=f（1）在在區間（-2，2）內實根的情況，就不難找到f（x）+4=f（1）在區間（-2，10）內的所有實根之和了．

解答：解：根據題意，f（1）=log₃1=0，
因此方程f（x）+4=f（1）化簡為f（x）=-4
當0＜x≤1時，f（x）=log₃x=-4，可得x=3 -4=

1

81

因為f（x）是偶函數，所以當-1≤x＜0時，f（x）=log_3-（-x）=-4，
可得-x=3 -4=

1

81

，x= -

1

81

 
∵f（x-1）是奇函數，圖象關于點（-1，0）對稱
∴當-2＜x≤-1時的函值域與當-1≤x＜0時函數值域互為相反數，f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
再根據f（x）是偶函數，圖象關于點y軸對稱得，當-2＜x≤-1時的函值域與當1≤x＜2時函數值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4沒有實根
因此函數在（-2，2）只有兩個實數根x=±

1

81

又∵f（2-x）=f（x-2）=f（-1+（x-1））=-f（-1-（x-1））=-f（-x）
∴f（2+x）=-f（x）⇒f（4+x）=-f（2+x）=f（x）
 函數的周期為4
因此可得在（2，6）只有兩個實數根x=±

1

81

+4，在（6，10）只有兩個實數根x=±

1

81

+8
因此可得六個實數根的和為-

1

81

+

1

81

+(-

1

81

+4)+(

1

81

+4)+( -

1

81

+8)+(

1

81

+8 )=24
故選B

點評：本題考查了函數與方程的綜合應用以及函數圖象的對稱性與奇偶性等知識點，屬于難題．充分利用函數的奇偶性與周期性，熟練對數的運算性質是解決本題的關鍵．