Question

（2012•瀘州二模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知

3

 b=2asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinB不為0，兩邊同時除以sinB后，得到sinA的值，由A為銳角三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）利用正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把a與sinA的值代入求出2R的值，進(jìn)而表示出b和c，將表示出的b，c代入表示出b+c，并由A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用C表示出B，代入表示出的b+c，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后提取12，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍求出這個角的范圍，可得出此時正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出b+c的范圍．

解答：解：（1）由

3

 b=2asinB得：

3

sinB=2sinAsinB，
又sinB≠0，
∴sinA=

3

2

，
由銳角△ABC得：A=60°；
（2）∵a=6，A=60°，設(shè)三角形外接圓的半徑為R，
∴根據(jù)正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，又

a

sinA

=4

3

，
∴2R=4

3

，
∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
又A=60°，∴B+C=120°，即C=120°-B，
∴b+c=4

3

(sinB+sinC)=4

3

(sinB+sin(120° -B))
=4

3

（sinB+sin120°cosB-cos120°sinB）
=4

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=6

3

sinB+6cosB
=12（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=12sin（B+30°），
∵△ABC為銳角三角形，
∴B∈（30°，90°），
∴B+30°∈（60°，120°）
∴

3

2

＜sin(B+30° )≤1，
∴b+c∈(6

3

 ， 12 ]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．