Question

(本小題滿分12分)   
如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且， ，是線段上一動點．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）試確定點的位置，使得平面；
（Ⅲ）當是中點時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

(I)可以先證明平面,再證明即可.
(II)連接CM，若平面，平面平面，∴，從而可根據平行線分線段成比例定理，可確定點M的位置.
(III)不難找出二面角的平面角為，然后解三角形MON求角即可.
（Ⅰ）連結，∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分別是、的中點，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；---------------------------------------4分
（Ⅱ）連結，

∵平面，平面平面，∴，
∴，故  ----------------------------6分
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，點為的中點，∴，
∴為所求二面角的平面角， ---------------------------------8分
∵點是的中點，∴，
所以在矩形中，可求得，，，----------10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值為． ------------------------------12分