Question

【題目】已知數列的前項和為，，數列滿足，點在直線上.

（1）求數列，的通項公式，；

（2）令，求數列的前項和；

（3）若，對所有的正整數都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據和項與通項關系求數列的通項公式，再根據等差數列定義以及通項公式求的通項公式；

（2）根據錯位相減法求數列的前項和；

（3）先根據作差法判定數列為單調遞減數列，再根據不等式恒成立轉化為，最后利用變量分離法求的取值范圍.

（1）∵，∴，即，

當時，，

∴，

∴，

∴是首項為，公比為2的等比數列，因此，，

因為在直線上，所以，

而，所以.

（2）∵，

∴③

因此④

③－④得：

，

∴.

（3）由（1）知，，

∵，

∴數列為單調遞減數列；

∴當時，.即的最大值為1.

由可得，，

而當時，當且僅當時取等號，

∴.