【題目】如圖所示的三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中點(diǎn)為
，若線段
上存在點(diǎn)
使得
平面
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）設(shè)
的長(zhǎng)為
，分別以
，
，
的方向?yàn)?/span>
，
，
軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，
，從而求得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
，求得
，利用
平面
列方程
即可求得，問(wèn)題得解。
（Ⅱ）求出平面
的法向量為
，結(jié)合（Ⅰ）中
是平面的一個(gè)法向量，利用法向量的夾角坐標(biāo)表示即可求解。
解：（Ⅰ）方法一：設(shè)的長(zhǎng)為，依題意可知
，
，
兩兩垂直，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則
，
，
，
，
，
，
因此
，
，
.設(shè)
，易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.
因?yàn)?/span>
平面，所以.
解之得
，所以的長(zhǎng)為.
方法二：如圖，在平面
內(nèi)過(guò)點(diǎn)
作
的垂線分別交和
于
，
，連接
，在平面
內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線交
于
，連接
.
依題意易得，
五點(diǎn)共面.
因?yàn)?/span>平面，所以
.①
在
中，
，
，因此為線段靠近
的三等分點(diǎn).
由對(duì)稱性知，為線段靠近
的三等分點(diǎn)，因此
，
.
代入①，得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一個(gè)法向量且，
.
設(shè)平面的法向量為
，則
可以為
.
.
因?yàn)槎娼?/span>
為銳角，故所求二面角的余弦值為.
期末好成績(jī)系列答案
99加1領(lǐng)先期末特訓(xùn)卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為預(yù)防
病毒爆發(fā)，某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測(cè)試該疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于
%，則認(rèn)為測(cè)試沒(méi)有通過(guò)），公司選定
個(gè)流感樣本分成三組，測(cè)試結(jié)果如下表：
|
|
| |
疫苗有效 |
|
|
|
疫苗無(wú)效 |
|
|
|
已知在全體樣本中隨機(jī)抽取
個(gè)，抽到
組疫苗有效的概率是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取
個(gè)測(cè)試結(jié)果，問(wèn)應(yīng)在
組抽取多少個(gè)？
（Ⅲ）已知
，
，求不能通過(guò)測(cè)試的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)點(diǎn)
是拋物線
上異于原點(diǎn)
的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作斜率為
、
的兩條直線分別交
于
、
兩點(diǎn)（、
、
三點(diǎn)互不相同）．
（1）已知點(diǎn)
，求
的最小值；
（2）若
，直線
的斜率是
，求
的值；
（3）若
，當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱錐O﹣ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如
，在不超過(guò)13的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是________（用分?jǐn)?shù)表示）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)：
恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；
至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；
至多有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；
至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．
在上述事件中，是對(duì)立事件的是
A. B. 
C. D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如下圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝4cosθ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（5，6），且斜率為
．
（1）求圓 C的平面直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|的值．
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