Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）作AB的中點H，連接EH，F(xiàn)H，
∵在△PAB中，E，H為中點，
∴EH∥PB，
∵EH平面PBC，PB平面PBC，
∴EH∥平面PBC，
同理可證明FH∥平面PBC，
∵EH平面EFH，F(xiàn)H平面EFH，EH∩FH=H，
∴平面EFH∥平面PBC，
∵EF平面EFH，
∴EF∥平面PBC．
（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，連接EJ，做AD中點O，連接OP，
∵PA=PD，
∴OP⊥AB，
∵EI⊥AB，
∴EI∥OP，
∵E為中點，
∴EI= OP= ，AE= AB= ，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
∴EI⊥底面ABCD，
∵IJ⊥DB，
∴EJ⊥DB，
∴∠EJI為二面角E﹣DF﹣A的平面角，
∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，
∴△DJI∽△ADB，
∴ = ， = ，
∴JI=
∴EJ= = = ，
∴cos∠EJI= = = ．
即二面角E﹣DF﹣A的余弦值為 ．
（Ⅲ）不存在．
假設(shè)存在，連接AC，BD，交于點F，EF為平面EDF和平面PAC的交線，
以O(shè)為原點，OA，OF，OP分別為xyz軸建立空間直角坐標系．則A（1，0，0），
B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），
P（O，O， ），E（ ，0， ），F(xiàn)（0，1，0），設(shè)G（x1 ， y1 ， z1），則 =（x1 ， 1﹣y1 ， z1），
設(shè)平面EFD的一個法向量是n=（x0 ， y0 ， z0），
∵ ，
即 ，令x0=1，則n=（1，﹣1，﹣ ），
∵因為GF⊥面EDF，
∴ =λ ，
∴x1=λ，y1﹣1=﹣λ，z1=﹣ λ，
∵ ， 共線， =（﹣1，2，﹣ ），
=（x1+1，y1﹣2，z1），
∴ = = ，
∴ = = ，無解，
故在棱PC上不存在一點G，故在棱PC上不存在一點G，使GF⊥平面EDF．


【解析】（Ⅰ）作AB的中點H，連接EH，F(xiàn)H，先利用面面平行的判定定理證明出平面EFH∥平面PBC，進而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，連接EJ，做AD中點O，連接OP，先證明出∠EJI為二面角E﹣DF﹣A的平面角，進而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．（Ⅲ）先假設(shè)存在點G，建立空間直角坐標系，求得平面EFD的一個法向量，僅而表示出 和 ，根據(jù)向量共線的性質(zhì)建立等式對λ求解．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．