Question

【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若不等式對(duì)恒成立,則的最小值等于____________.

Answer 1

【答案】

【解析】法1： .

（1）若即，則在上恒成立.當(dāng)時(shí)，又，故，與恒成立矛盾，舍去；

（2）若即，則當(dāng)時(shí)， ， 在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 在為減函數(shù)，故，整理得到，所以， .

令，則，注意到為上的減函數(shù)，且當(dāng)， ，所以

當(dāng)時(shí)， 即， 在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 即， 在上是減函數(shù)，

所以，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為.

法2：令，從而， 可以轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，其在是增函數(shù)且.設(shè)為曲線的任意一點(diǎn)，在處的切線方程為，令，則，

當(dāng)時(shí)， ， 在在是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 在在是增函數(shù)；

事宜，從而，所以的圖像始終在其任意一點(diǎn)處的切線的下方或與其相切，所以，即，故所求的最小值為.