Question

【題目】已知函數（）．

　　（1）若函數是單調函數，求的取值范圍；

（2）求證：當時，都有．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）對函數求導，由函數是單調函數可得或在上恒成立，利用分離參數的方法，當時， ；當時， ，分別求右端的最值或極限值即可；（2）由（1）可知，當時， 在上遞減，根據單調性化簡可得成立，利用分析法將所證命題轉化為，構造函數，求出即可.

試題解析：（1）函數的定義域為，∵，∴，

∵函數是單調函數，∴或在上恒成立，

①∵，∴，即， ，

令，則，當時， ；當時， ．

則在上遞減， 上遞增，∴，∴；

②∵，∴，即， ，

由①得在上遞減， 上遞增，又， 時，∴；綜上①②可知， 或；

（2）由（1）可知，當時， 在上遞減，∵，

∴，即，∴，

要證，只需證，即證，

令， ，則證，令，則，

∴在上遞減，又，∴，即，得證．