Question

【題目】設f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，a，b為常數），曲線y=f（x）與直線y= x在（0，0）點相切．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當0＜x＜2時，f（x）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=f（x）過（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1

∵曲線y=f（x）與直線y= x在（0，0）點相切．

∴y′|x=0=

∴a=0；

（2）

證明：由（1）知f（x）=ln（x+1）+ -1

由均值不等式，當x＞0時， ，∴ ①

令k（x）=ln（x+1）﹣x，則k（0）=0，k′（x）= ，∴k（x）＜0

∴ln（x+1）＜x，②

由①②得，當x＞0時，f（x）＜ x

記h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，則當0＜x＜2時，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9

＜ ＜

=

∴h（x）在（0，2）內單調遞減，又h（0）=0，∴h（x）＜0

∴當0＜x＜2時，f（x）＜

【解析】（1）由y=f（x）過（0，0），可求b的值，根據曲線y=f（x）與直線y= x在（0，0）點相切，利用導函數，可求a的值；（2）由（1）知f（x）=ln（x+1）+ -1，由均值不等式，可得 ，構造函數k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，從而當x＞0時，f（x）＜ x，記h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可證h（x）在（0，2）內單調遞減，從而h（x）＜0，故問題得證
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．