Question

已知線段，的中點為，動點滿足（為正常數）．
（1）建立適當的直角坐標系，求動點所在的曲線方程；
（2）若，動點滿足，且，試求面積的最大值和最小值．

Answer 1

（1）；（2）的最小值為，最大值為1.

解析試題分析：（1）先以為圓心，所在直線為軸建立平面直角坐標系，以與的大小關系進行分類討論，從而即可得到動點所在的曲線；
（2）當時，其曲線方程為橢圓，設，，的斜率為，則的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），求得△AOB面積，最后求出面積的最大值即可，從而解決問題．
（1）以為圓心，所在直線為軸建立平面直角坐標系.若，即，動點所在的曲線不存在；若，即，動點所在的曲線方程為；若，即，動點所在的曲線方程為.……4分
(2)當時，其曲線方程為橢圓.由條件知兩點均在橢圓上，且
設，，的斜率為，則的方程為，的方程為解方程組，得，
同理可求得，   
面積=
令則

令所以，即
當時，可求得,故，
故的最小值為，最大值為1.
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題.