Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣5x﹣18
（1）求不等式g（x）＜0的解集
（2）若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=2x2﹣5x﹣18＜0

∴（2x﹣9）（x+2）＜0解得 ，

∴不等式g（x）＜0的解集為

（2）解：解法一：∵f（x）=x2﹣2x﹣8當x＞2時，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

∴x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1），

∴對一切x＞2，均有不等式 成立．

而 （當x=3時等號成立）．

∵x＞2，

∴實數m的取值范圍是（﹣∞，2]．

解法二：∵f（x）=x2﹣2x﹣8當x＞2時，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

即x2﹣（m+4）x+m+7≥0對x＞2恒成立

令h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，

△=（m+4）2﹣4（m+7）=m2+4m﹣12=（m+6）（m﹣2）

①當h（x）圖象與x軸沒有交點或只有一個交點時，△≤0即﹣6≤m≤2時滿足條件

②當h（x）圖象與x軸有兩個交點時，則有 即

綜上所述，實數m的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）解法一：把函數f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍．解法二：構造函數h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，根據方程根的問題，分類討論即可求出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．