Question

【題目】已知橢圓的焦點和上頂點分別為，定義：為橢圓的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點是橢圓的一個焦點，且上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4

（1）若橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，求橢圓的方程.

（2）已知點是橢圓上的任意一點，若點是直線與拋物線異于原點的交點，證明：點一定在雙曲線上.

（3）已知直線，與橢圓相似且短半軸長為的橢圓為，是否存在正方形，（設其面積為），使得在直線上，在曲線上？若存在，求出函數的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）先計算橢圓：，根據相似比得到橢圓的方程.

（2）點是橢圓上的一點，則，設，計算

得到證明.

（3）根據題意：只需上存在兩點關于對稱即可，利用韋達定理計算，得到答案.

（1）根據題意知，橢圓：，，橢圓：

橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，則

橢圓的方程為：

（2）點是橢圓上的一點，則，

設

故

所以點一定在雙曲線上

（3）：根據題意：只需上存在兩點關于對稱即可

設，設的中點為

由韋達定理知：

在直線上，則故

此時正方形的邊長為

故