Question

【題目】正四棱錐的底面正方形邊長是3，是在底面上的射影，，是上的一點，過且與、都平行的截面為五邊形．

（1）在圖中作出截面，并寫出作圖過程；

（2）求該截面面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）9.

【解析】

（1）根據題意，作輔助線，過作， 且過點作，交于點，過點作交于點，連接， 即可得出截面；

（2）由題意可知，截面，截面，根據平面，利用線面垂直的性質和判定，可證出平面，則，進而得出，所以截面是由兩個全等的直角梯形組成，設，則，截面面積為，根據，代入計算，最后利用二次函數求得最大值.

解：（1）由題可知，是上的一點，過且與、都平行的截面為五邊形，

過作，交于點，交于點，

過作，交于點，

再過點作，交于點，

過點作交于點，連接，

，，，

，

所以共面，平面，

，平面，

平面，同理平面.

所以過且與、都平行的截面如下圖：

（2）由題意可知，截面，截面，

，，

而是在底面上的射影，，

平面，，

，且，

所以平面，則，

，

又， 為正四棱錐，

，故，

于是，

因此截面是由兩個全等的直角梯形組成，

因，則為等腰直角三角形，

設，則，

所以，，

，同理得，，

又因為，

設截面面積為，

所以，

即：，

當且僅當時，有最大值為9.

所以截面的面積最大值為9.