Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：(1)由線平行先證得，再由各邊長結合勾股定理逆定理，證得，運用面面垂直的判定定理即可證得(2) 以點為坐標原點，以的方向為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系.求出平面的法向量為，平面的一個法向量為，利用公式計算求得結果

解析：（1）證明：因為，

所以.

因為，所以，

所以，

因為，

所以平面.

因為平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知， 平面，故以點為坐標原點，分別以的方向為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

所以，

所以，

設平面的法向量為，

則，

所以，

取，則，

又因為平面的一個法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為.