Question

【題目】如圖，四邊形中， ， ， ， ， 分別在上， ，現將四邊形沿折起，使.

（1）若，在折疊后的線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用折疊前后的線面平行的性質討論可得上存在一點，使得平面，此時.

(2)由題意得到體積函數，結合二次函數的性質可知當時， 有最大值，且最大值為3，結合余弦定理和三角形面積公式可知此時點到平面的距離為.

試題解析：

（1）上存在一點，使得平面，此時.

理由如下：

當時， ，

過點作交于點，連結，

則有，

∵，可得，

故，

又， ，

故有，

故四邊形為平行四邊形，

∴，

又∴平面, 平面，

故有∴平面成立.

（2）設，

∴， ，

故 ，

∴當時， 有最大值，且最大值為3，

此時，

在中，由余弦定理得

，

∴，

,

設點到平面的距離為，

由于，

即，

∴，

即點到平面的距離為.