Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為矩形， 為中點， ， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設與的交點為，連結，則為的中點，由為中點，利用三角形中位線定理可得，從而根據線面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）由勾股定理可得，根據線面垂直的性質定理得平面，故，再根據線面垂直的判定定理可得平面，故就是直線與平面所成的角，在直角中可得.

試題解析：

（Ⅰ）設與的交點為，連結.

因為為矩形，所以為的中點.

在中，由已知為中點，所以.

又平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）在中， ， ，

所以，

即.

因為平面平面，

平面平面， ，

所以平面，故.

又因為， 平面，所以平面，

故就是直線與平面所成的角.

在直角中， ，

所以.

即直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.