Question

【題目】已知函數．

（）若，確定函數的單調區間．

（）若，且對于任意， 恒成立，求實數的取值范圍．

（）求證：不等式對任意正整數恒成立．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，減區間為；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，解不等式得增區間，解不等式得減區間；

（2），只要時， 恒成立即可，因此利用導數求出在上的最小值，由此最小值大于0可得的范圍，注意對分類討論；

（3）這類證明題一般要利用上面所證函數的結論，由（2）知當時， 恒成立，分別取為可得，相加同時取即證．

試題解析：

（），∴， ，∴當時， ，當時， ，

∴單調增區間為，減區間為．

（），∴為偶函數，

∴對恒成立，等價于，對恒成立，

∴，解得，

當時， ，在時成立，

∴在上為增函數，∴，符合題意，

當時， ，∴時， ， 減，

時， ， 增，

∴，∴，綜上．

（）證明：由（）可知，當時， 恒成立，即恒成立，

，

當時， ，得證．