Question

【題目】設函數（實數為常數）

（1）當時，證明在上單調遞減；

（2）若，且為偶函數，求實數的值；

（3）小金同學在求解函數的對稱中心時，發現函數是一個復合函數，設，，則，顯然有對稱中心，設為，有反函數，則的對稱中心為，請問小金的做法是否正確？如果正確，請給出證明，并直接寫出當時的對稱中心；如果錯誤，請舉出反例，并用正確的方法直接寫出當時的對稱中心.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）若，的對稱中心為；若，的對稱中心為.

【解析】

（1）先將化簡，再利用定義法證明單調性即可；

（2）由偶函數的性質化簡求解即可得到a；

（3）利用（1）作為反例可知小金的做法是錯誤的，分別討論和的情況，結合對稱點的性質可得.

（1）當時，，

任取，且，

則，

由得，，即，又，

所以，即，故在上單調遞減；

（2）依題意，，由可得，，

整理可得，，解得；

（3）錯誤，令，則，

顯然有對稱中心，，

很明顯，沒有意義，

當時，，

若，，則直線上每一個點都是的對稱中心.

若，設的對稱中心為，

則，由此可得，，，

即的對稱中心為.