Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為，拋物線上一定點．

（1）求拋物線的方程及準線的方程；

（2）過焦點的直線（不經過點）與拋物線交于兩點，與準線交于點，記的斜率分別為，問是否存在常數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1），準線；（2）存在常數，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）把代入，得，所以拋物線方程為，

準線的方程為；（2）由條件可設直線的方程為．因為 ，把直線的方程，代入拋物線方程，并整理，則，因為三點共線，所以，

所以，即存在常數，使得成立．

試題解析：（1）把代入，得，所以拋物線方程為，

準線的方程為．

（2）由條件可設直線的方程為．由拋物線準線，可知，又，所以，

把直線的方程，代入拋物線方程，并整理，可得，設，則，

又，故．因為三點共線，所以，

即，

所以，

即存在常數，使得成立．