Question

橢圓與雙曲線之間有許多類似的性質：
P是橢圓+=1（a＞b＞0）上任一點，焦點F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為b²，類比，P是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為________．

Answer 1

b²
分析：類似橢圓的性質，將面積表達式的“+”號改成“-”即得b²．設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，根據三角形面積公式可表示出△PF₁F₂的面積，由余弦定理可求得r₁r₂的表達式，進而求得S與b和tanθ的關系式，原式得證．
解答：類似橢圓的性質：P是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）上任一點，焦點F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為 b²．
證明：設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，
由余弦定理有
（2c）²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos2θ=（r₁+r₂）²-2r₁r₂-2r₁r₂cos2θ=（2a）²-2r₁r₂（1+cos2θ），
于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²-4c²=4b²．
所以r₁r₂=．
這樣即有S=•sin2θ=b² =b²．
故答案為：b²．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便．如本題，設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則S=r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，問題即獲解決．