Question

已知橢圓M：＝1(a＞b＞0)的短半軸長b＝1，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6＋4.
(1)求橢圓M的方程；
(2)設直線l：x＝my＋t與橢圓M交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求t的值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）t＝或t＝3

(1)由題意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，
因為b＝1，所以b²＝a²－c²＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，所以橢圓M的方程為＋y²＝1.
(2)由消去x得(m²＋9)y²＋2mty＋t²－9＝0.
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝.①
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C(3,0)，所以·＝0.
由＝(x₁－3，y₁)，＝(x₂－3，y₂)得(x₁－3)(x₂－3)＋y₁y₂＝0.
將x₁＝my₁＋t，x₂＝my₂＋t代入上式，
得(m²＋1)y₁y₂＋m(t－3)(y₁＋y₂)＋(t－3)²＝0，
將①代入上式，解得t＝或t＝3.