Question

【題目】在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A≠ ，且3sinAcosB+ bsin2A=3sinC．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A= ，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵3sinAcosB+ bsin2A=3sinC，

∴3sinAcosB+ bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，

∴bsinAcosA=3cosAsinB，

∴ba=3b，

∴a=3；

（Ⅱ）由正弦定理可得 = = ，

∴b=2 sinB，c=2 sinC

∴△ABC周長(zhǎng)=3+2 （sinB+sinC）=3+2 [sin（ ﹣C）+sinC]=3+2 sin（ +C）

∵0＜C＜ ，

∴ ＜ +C＜ ，

∴ ＜sin（ +C）≤1，

∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2

【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理將C用A、B表示，然后利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及二倍角的正弦將等式展開并化簡(jiǎn)即可求出a；（2）利用正弦定理將b、c用a、sinA、sinB、sinC表示.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二倍角的正弦公式(二倍角的正弦公式：)．