Question

【題目】已知命題p：函數f（x）=（m2﹣1） 上為增函數；命題q：函數g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零點．
（I）若p∨q為假命題，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：若命題p為真命題，

即函數f（x）=（m2﹣1） 上為增函數，

則m2﹣1＞0，解得：m＜﹣1，或m＞1，

∵函數g（x）=x2﹣2elnx﹣m

∴g′（x）=2x﹣

當x∈（0， ）時，g′（x）＜0，當x∈（ ，+∞）時，g′（x）＞0，

故當x= 時，函數g（x）取最小值﹣m，

若命題q為真命題：函數g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零點．

則：﹣m≤0，即m≥0，

（I）若p∨q為假命題，則p，q均為假命題，

則 ，

解得：﹣1≤m＜0；

（Ⅱ）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，

若p真q假，則 ，解得：m＜﹣1

若p假q真，則 ，解得：0≤m≤1，

綜上可得：0≤m≤1，或m＜﹣1

【解析】當命題p為真命題時，列出不等式，求出m的取值范圍；利用導數討論函數g（x）的單調性，求出函數g（x）的最小值，當命題q為真命題時寫出m的取值范圍；（1）若pq為假命題，則p、q均為假命題；（2）若pq為真命題，pq為假命題，則p，q一真一假.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合命題的真假的相關知識，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．