Question

【題目】已知二次函數的對稱軸為，.

（1）求函數的最小值及取得最小值時的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個實根；

（3）若，存在實數，對任意，使恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），此時；（2）的取值范圍為；（3）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式易得，此時.（2）至少有一個實根，即與的圖象在上至少有一個交點，由題意，可得，，則需即可；（3）由題意，可得，則，

由已知存在實數，對任意，使恒成立.即.令∴，轉化為存在，使成立.令，的對稱軸為，分類討論，即可得到實數的取值范圍

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當且僅當，即時“=”成立，即，此時.

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一個實根，∴至少有一個實根，

即與的圖象在上至少有一個交點，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為.

（3），∴，

由已知存在實數，對任意，使恒成立.

∴.

令，∴，即，

轉化為存在，使成立.

令，∴的對稱軸為，

∵，∴.

①當，即時，

，

∴，∴.

②當，即時，

，

∴，∴，∴.

綜上，實數的取值范圍為.