Question

【題目】已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，，求的最大整數值．

Answer 1

【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增.(2)2.

【解析】

分析：（1）先確定函數的定義域，再求出函數的導數， ， 分類討論，確定和時函數的單調性.

（2）根據題意，轉化為時，條件下求參數問題.由（1）可知：①當時在上單調遞增，且，即成立；②時，即，分析情況同①；③時，即，，構造關于的新函數，判斷函數的單調性，確定函數零點位置，而；綜上得的最大整數值為.

詳解：解：（1）函數的定義域為．

，

當時，，在上單調遞增，

當時，令，得，令，得，

在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知，當時在上單調遞增，

又，所以當時，，滿足題意.

由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

若，即，在上單調遞增，

所以當時，，滿足題意.

若，即，在上單調遞減，在上單調遞增.

即

令，

，

在上單調遞減，

又，，

在上存在唯一零點，

綜上所述，的取值范圍為，故的最大整數值為.