Question

【題目】已知函數是定義域為的奇函數.

（1）求實數的值并判斷函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】分析：（1）由奇函數可得，解得，經檢驗，當時，函數為奇函數；設且，利用指數函數的性質可證明，從而可得結果；（2）結合函數的單調性與奇偶性可得，當時，不等式恒成立，等價于對恒成立，換元后，利用二次函數的性質列不等式組求解即可.

詳解：（1）解法一：∵函數是定義域為的奇函數，

∴，解得.

經檢驗，當時，函數為奇函數，即所求實數的值為.

∵ ，

在上恒成立，所以是上的減函數.

解法二：∵函數是定義域為的奇函數，

∴，解得.

經檢驗，當時，函數為奇函數，即所求實數的值為.

設且，

則

，

∵，∴，，

∴，即，

所以是上的減函數.

（2）由，可得.

∵是上的奇函數，∴，

又是上的減函數，

所以對恒成立，

令，∵，∴，

∴對恒成立，

令，，

∴，解得，

所以實數的取值范圍為.