Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：PB⊥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC，設AC交BD于O，連結EO，

∵底面ABCD中矩形，∴點O是AC的中點，

又∵點E是PC的中點，∴PA∥EO，

∵EO平面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面EO

（2）證明：PD⊥底面ABCD，BC底面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，

∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE，

∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，

又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE平面DEF，EF平面DEF，

∴PB⊥平面DEF．

【解析】（1）連結AC，設AC交BD于O，連結EO，則PA∥EO，由此能證明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，從而BC⊥平面PDC，進而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能證明PB⊥平面DEF．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．