Question

【題目】已知函數f（x）=2x+m21﹣x ．
（1）若函數f（x）為奇函數，求實數m的值；
（2）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是單調遞增函數，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得函數f（x）的圖象關于點A（a，0）對稱，若存在，求實數a的值，若不存在，請說明理由．
注：點M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）的中點坐標為（ ， ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為實數集R

因為函數為奇函數

故f（﹣x）=﹣f（x），

所以f（0）=1+2m=0，即m=﹣ ，

此時f（x）=2x﹣2﹣x．

函數為奇函數滿足題意

故m=﹣

（2）解：解法一：

任取設1＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）

=（ ）（ ）＜0對任意滿足1＜x1＜x2恒成立

因為 ＜0，且 ，

故2m≤4，即m≤2；

解法二：若函數f（x）在區間（1，+∞）上是單調遞增函數，

則f′（x）=ln22x﹣ln2m21﹣x≥0在區間（1，+∞）上恒成立，

即m≤22x﹣1在區間（1，+∞）上恒成立，

令y=22x﹣1，則在區間（1，+∞）上y＞22﹣1=2恒成立，

故m≤2

（3）解：假設存在滿足條件的實數a

在函數f（x）圖象上任取一點M（x1，y1），關于A（a，0）對稱點為N（x2，y2）

則 =a， =0，

即x2=2a﹣x1，y2=﹣y1，

即有f（x1）+f（2a﹣x1）=0恒成立

（注：沒有推導過程的，只有結論的不給分）

即（ ）+ =0，

化簡得：（22a+2m）（ + ）=0

∵ + ＞0恒成立，

故有：22a+2m=0，

當m≥0時，方程無解，故不存在

當m＜0時，a= ，

綜上所述：①當m≥0時，不存在實數a，使得函數f（x）圖象關于點A（a，0）對稱

②當m＜0時，存在實數a= ，使得得函數f（x）圖象關于點A（a，0）對稱

【解析】（1）由函數f（x）為奇函數，f（0）=0，解得實數m的值；（2）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是單調遞增函數，
解法一：f（x1）﹣f（x2）＜0對任意滿足1＜x1＜x2恒成立，解得實數m的取值范圍；
解法二：f′（x）≥0在區間（1，+∞）上恒成立，解得實數m的取值范圍；（3）假設存在滿足條件的實數a，則有有f（x1）+f（2a﹣x1）=0恒成立，則有：22a+2m=0，進而可得滿足條件的答案．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱即可以解答此題．