Question

【題目】設函數f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的兩個零點分別是﹣3和2．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）當函數f（x）的定義域是[0，1]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可知ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的兩根為﹣3和2，
故可得﹣3+2= ，﹣3×2= ，解之可得a=﹣3，b=5
故可得f（x）=﹣3x2﹣3x+18；
（Ⅱ）由（I）可知，f（x）=﹣3x2﹣3x+18=﹣3
圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x= ，又x∈[0，1]，
故函數在x∈[0，1]上單調遞減，
故當x=0時，函數取最大值18，當x=1時，函數取最小值12
故所求函數f（x）的值域為[12，18]
【解析】（I）轉化為ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的兩根為﹣3和2，由韋達定理可得a，b的方程組，解之可得；（Ⅱ）配方可得函數的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x= ，可得函數在x∈[0，1]上單調遞減，可得最值．
【考點精析】關于本題考查的函數的值域和函數的零點與方程根的關系，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點才能得出正確答案．