Question

【題目】已知二次函數對都滿足且，設函數（， ）．

（Ⅰ）求的表達式；

（Ⅱ）若，使成立，求實數m的取值范圍；

（Ⅲ）設， ，求證：對于

恒有

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）設，根據=直接可得答案．（Ⅱ）表示出函數f（x）的解析式，對m進行大于0、小于、和等于0進行分析可得答案．（Ⅲ）先根據H（x）的導數小于等于0判斷出H（x）單調遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|<1即可．

試題解析：

（Ⅰ）設，于是

所以 又，則．所以．

（Ⅱ）

當m>0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；

當m=0時， 對， 恒成立；

當m<0時，由，列表：

x
	－	0	＋
	減	極小	增

由題意

故使成立，實數m的取值范圍）．

（Ⅲ）因為對， 所以在內單調遞減．

于是

.

記，則

所以函數在是單調增函數，

所以，故命題成立．