Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）= x3+ax（a∈R），且曲線f（x）在x= 處的切線與直線y=﹣ x﹣1平行．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）﹣m在區(qū)間[﹣3， ]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=x2+a， 因?yàn)榍�線f（x）在x= 處的切線與直線y=﹣ x﹣1平行，
所以f′（ ）= +a=﹣ ，解得a=﹣1，
所以f（x）= x3﹣x，
設(shè)x＜0則f（x）=﹣f（﹣x）= x3﹣x，
又f（0）=0，所以f（x）= x3﹣x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）= ，f（1）=﹣ ，f（ ）=0，
所以函數(shù)y=f（x）﹣m在區(qū)間[﹣3， ]上有三個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)f（x）在[﹣3， ]上的圖象與y=m有三個(gè)公共點(diǎn)．
結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣3， ]上大致圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣ ，0）．

【解析】（Ⅰ）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩直線平行的關(guān)系求得a的值，由此求得函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象與y=m有三個(gè)公共點(diǎn)，由此結(jié)合圖象求得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識(shí)，掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)．