Question

【題目】若有窮數列（）滿足：①；②.則稱該數列為“階非凡數列”

（1）分別寫出一個單調遞增的“階非凡數列”和一個單調遞減的“階非凡數列”；

（2）設，若“階非凡數列”是等差數列，求其通項公式；

（3）記“階非凡數列”的前項的和為，求證：

Answer 1

【答案】（1）三階；四階；

（2），；（3）證明見解析；

【解析】

（1）令即可得到“階非凡數列”；令，即可得到“階非凡數列”；

（2）由等差數列是“階非凡數列” 得，則數列各項以為分界線，接下來對公差分兩種情況討論，即和，將均用表示，從而分別求得通項公式；

（3）對分兩種情況討論，即和，當時結論顯然成立，當時，要結合絕對值不等式進行證明.

（1）“階非凡數列”為：；“階非凡數列”為：.

（2）設等差數列的公差為，

，

，即，

當時，為遞增數列，

且，

，

①；②，

，

，

.

，

當時，為遞減數列，同理可得：

，，

，

即，

.

（3）當時，；

當時，，

，

，

，

，

綜上所述：成立.