Question

【題目】已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，對于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當x1 ， x2∈[0，2]且x1≠x2時，都有 ＜0，給出下列四個命題：
①f（﹣2）=0；
②直線x=﹣4是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[4，6]上為增函數；
④函數y=f（x）在（﹣8，6]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①：對于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=﹣2，則f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），
即f（﹣2）=0，即①正確；
②：由（1）知f（x+4）=f （x），則f（x）的周期為4，
又∵f（x）是R上的偶函數，∴f（x+4）=f（﹣x），
而f（x）的周期為4，則f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），
∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），
則直線x=﹣4是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，即②正確；
③：當x1 ， x2∈[0，2]，且x1≠x2時，都有 ＜0，
∴函數y=f（x）在[0，2]上為減函數，
而f（x）的周期為4，
∴函數y=f（x）在[4，6]上為減函數，故③錯誤；
④：∵f（2）=0，f（x）的周期為4，函數y=f（x）在[0，2]上為增函數，
在[﹣2，0]上為減函數，
∴作出函數在（﹣8，6]上的圖象如圖：
則函數y=f（x）在（﹣8，6]上有4個零點，故④正確．
所以答案是．①②④

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．