Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于不同的兩點，求的內切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據題意列出待定系數的方程組，即可求得方程；（2）設的內切圓的半徑為，

易得的周長為，所以，因此最大，就最大. 把分解為和,從而得到，整理方程組， 求出兩根和與兩根既即得到面積與的函數關系，通過換元，利用均值不等式即可求得的最大值，此時.

試題解析：（1）由題意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

故橢圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）設，設的內切圓的半徑為，

因為的周長為，，

因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，

由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又因直線與橢圓交于不同的兩點，

故，即，則

．．．．．．．．．．．．10分

令，則，

．

令，由函數的性質可知，函數在上是單調遞增函數，

即當時，在上單調遞增，

因此有，所以，

即當時，最大，此時，

故當直線的方程為時，內切圓半徑的最大值為．．．．．．．．．．．12分