Question

已知函數，（為自然對數的底數）。
（1）當時，求函數在區間上的最大值和最小值；
（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）最大值為0，最小值。（2）。

解析試題分析：（1）當時，，，…………2分
則函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，……………
又，則，        ………………5分
。                           …………………6分
（2），則函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，
又，則函數的值域為。………………8分
則轉化為：當時，在區間上有兩個不同的根。…………9分
而。
當時，函數在區間上為減函數，不符合題意。…………………10分
當時，有，函數在區間上為減函數，
不符合題意。                                         ………………………11分
當時，有，此時函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，而當趨于零時，趨于正無窮，且最小值為。
要使在區間上有兩個不同的根，則。 ………12分
又，且，故只要，得。
而，從而有。          ……14分
考點：利用導數研究函數的單調區間和最值；導數的綜合應用。
點評：在高考中，重點考查利用導數研究函數的單調性，求單調區間、極值、最值，以及利用導數解決生活中的優化問題。多以解答題的形式出現，屬于中、高檔題目。