Question

【題目】設，，其中實數

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若函數與的圖象只有一個公共點，且存在最小值時，記的最小值為，求的值域；

（3）若與均在區間內為增函數，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）遞減區間為；遞增區間為（2）．（3）a≤﹣3或a≥1．

【解析】

（1）由f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a），a＞0，由f′（x）＞0，得x．由此能求出f（x）的單調區間．

（2）g（x）對稱軸為，當a＞0時，a且a；當a＜0時，a+2且a+2．由此能求出實數a的取值范圍．

（3）由已知條件知x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個實根，得到a的范圍，再利用二次函數y＝g（x）有最小值，由此能求出h（a）的值域．

（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，

∴f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a），

∵a＞0，∴由f′（x）＞0，得x．

∴f（x）的遞減區間為；

遞增區間為

（2）由函數y＝f（x），y＝g（x）關于x方程：x3+ax2﹣a2x+1＝ax2﹣2x+1，

即x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個實根，x=0滿足題意，

∴x2﹣（a2﹣2）＝0在x時無根，

∴a2﹣2≤0，解得．

二次函數y＝g（x）存在最小值，

∴a＞0，∴

∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21，

∴，∴h（a）的值域為．

（3）∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21，

∴對稱軸為，

當a＞0時，由（1）知f（x）的遞增區間為，

∵g（x）在遞增，

依題意，

且（a，a+2）（），∴a且a，解得a≥1．

當a＜0時，f（x）的遞增區間為，

g（x）在遞增，

依題意且（a，a+2）（﹣∞，），

∴a+2且a+2，解得a≤﹣3．

∴實數a的取值范圍為a≤﹣3或a≥1．