Question

【題目】已知圓C過點A(2,6),且與直線l1: x+y－10=0相切于點B(6,4).

(1)求圓C的方程；

(2)過點P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點,若△CMN為直角三角形,求直線l2的斜率；

(3)在直線l3: y=x－2上是否存在一點Q,過點Q向圓C引兩切線,切點為E,F, 使△QEF為正三角形,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為或者不存在；（3）存在，或.

【解析】

（1）設圓心坐標，半徑為，通過垂直關系和半徑關系求出未知數即可；

（2）若△CMN為直角三角形,則圓心到直線的距離為，即可求解斜率；

（3）使△QEF為正三角形，即，求出點Q的坐標.

（1）設圓心坐標，半徑為，圓C過點A(2,6),且與直線l1: x+y－10=0相切于點B(6,4)，

所以

即，解得，所以

所以圓C的方程：；

（2）過點P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點,若△CMN為直角三角形,

，所以△CMN為等腰直角三角形，且，

所以圓心到直線l2的距離為，

當直線l2的斜率不存在時，直線方程，

圓心到直線l2的距離為5，符合題意；

當直線l2的斜率存在時，設斜率為，

直線方程為，即

圓心到直線l2的距離為，

即，，

解得，

直線的斜率為或者不存在；

（3）若直線l3: y=x－2上存在一點Q,過點Q向圓C引兩切線,切點為E,F, 使△QEF為正三角形, 即，在中，

設，即

解得或

所以點的坐標為或.