Question

設函數f(x)=

1

3

x3-ax2-3a2x+1 (a＞0)．
（I）求f′（x）的表達式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間、極大值和極小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]時，恒有f′（x）＞-3a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用多項式函數的求導公式求解
（2）判定函數當x變化時，f'（x）的變化情況，f'（x）＞0求得單調增區間，f'（x）＜0求得單調減區間，f'（x）的變化情況研究出函數的極值
（3）研究x∈[a+1，a+2]時，恒有f'（x）＞-3a成立的問題，可轉化成f'（x）的最小值大于-3a成立．

解答：解：（I）f'（x）=x²-2ax-3a²．（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a．（5分）
則當x變化時，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

可知：當x∈（-∞，-a）時，函數f（x）為增函數，當x∈（3a，+∞）時，函數f（x）也為增函數．（6分）
當x∈（-a，3a）時，函數f（x）為減函數．（7分）當x=-a時，f(x)的極大值為

5

3

a3+1；（8分）
當x=3a時，f（x）的極小值為-9a³+1．（9分）
（Ⅲ）因為f'（x）=x²-2ax-3a²的對稱軸為x=a，
且其圖象的開口向上，所以f'（x）在區間[a+1，a+2]上是增函數．（10分）
則在區間[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a等價于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a．（12分）
解得-

1

4

＜a＜1．又a＞0，故a的取值范圍是（0，1）

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值以及恒成立問題