Question

（2012•河南模擬）設函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當a=1時，過原點的直線與函數f（x）的圖象相切于點P，求點P的坐標；
（Ⅱ）當0＜a＜

1

2

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=

1

3

時，設函數g(x)=x2-2bx-

5

12

，若對于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．（e是自然對數的底，e＜

3

+1）

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）的定義域，求出導函數，利用過原點的直線與函數f（x）的圖象相切于點P，可求點P的坐標；
（Ⅱ）求導函數，f'（x）＜0，可得函數的單調減區間；f'（x）＞0，可得出函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，由此可求b的取值范圍．

解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（2分）
（Ⅰ）設點P（x₀，y₀）（x₀＞0），當a=1時，f（x）=lnx-x-1，則y₀=lnx₀-x₀-1，f′(x)=

1

x

-1，
∴f′(x0)=

1

x0

-1=

lnx0-x0-1

x0

（3分）
解得x0=e2，故點P 的坐標為（e²，1-e²）（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

-ax2+ax+a-1

x2

=-

(x-1)(ax-1+a)

x2

=-

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

∵0＜a＜

1

2

，∴

1-a

a

-1＞0（5分）
∴當0＜x＜1，或x＞

1-a

a

時，f'（x）＜0；當1＜x＜

1-a

a

時，f'（x）＞0
故當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）的單調遞增區間為(1，

1-a

a

)；
單調遞減區間為（0，1），(

1-a

a

，+∞)（7分）
（Ⅲ）當a=

1

3

時，f(x)=lnx-

x

3

+

2

3x

-1
由（Ⅱ）可知函數f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上為增函數，在（2，e]上為減函數，且f(1)=-

2

3

，f(e)=-

e

3

+

2

3e

∵f(e)-f(1)=

2-e2+2e

3e

=

3-(e-1)2

3e

，又e＜

3

+1，∴（e-1）²＜3，
∴f（e）＞f（1），故函數f（x）在（0，e]上的最小值為-

2

3

（9分）
若?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）                                         （10分）
又g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數，[g(x)]min=g(0)=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾
②當0≤b≤1時，[g(x)]min=g(b)=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數，[g(x)]min=g(1)=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此時b＞1
綜上，b的取值范圍是[

1

2

，+∞)（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是將?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值