Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點（， 不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析，定點坐標為.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的幾何意義，知，；（2）聯立方程，得到根與系數的關系，以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D，所以,

試題解析：（ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3，

∴橢圓的標準方程為。

（ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

則，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2，

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

∴

整理為，得，，或，代入后，得到過，或是過